LSR 010 - 虚数单位与复数规范¶

基本信息¶

LSR 编号 010
标题虚数单位与复数规范
作者 Ziyang-Bai
状态草案
类型标准规范
创建日期 07-28-2026
归属项目编译器、标准库、CAS

摘要¶

定义虚数单位 I、复数字面量、num 上的 complex 值约束，以及复数主值、顺序和符号运算边界 [1] [2]。复数与精确数、符号表达式和近似值共用数学基本静态类型 num。

技术规范¶

1. 设计目标¶

明确 3 + 4I 的语法含义
避免虚数单位与普通变量或 sym 声明冲突
在统一的 num 数学值语义中保留实数与复数的数域区别
为标准库及 CAS 提供复数构造、主值函数和集合多结果的确定语义

2. 虚数单位¶

I 是预定义虚数单位，满足数学关系 I^2 == -1。

I 的基本静态类型是 num，其值满足 complex 约束
I 是预定义常量，不是普通变量；用户不得在同一作用域重新绑定它
sym I 非法，必须报错 ImaginaryUnitReserved
小写 i 是普通标识符，可以作为变量名或通过 sym i 声明为符号
标准库在 std.math 中以 I 导出同一常量；该导出不创建另一个虚数单位

3. 复数字面量¶

虚数字面量由数值字面量紧跟后缀 I 构成，中间不得有空白。

let a = 4I
let b = 3 + 4I
let c = -2.5I
let d = 1/2 + 3/4I

4I 等价于 4 * I
3 + 4I 等价于 std.math.complex(3, 4) 所构造的数学值
3 + 4 * I 同样合法，按普通乘法解析
4 I 非法，必须报错 ComplexLiteralSpacing
虚数字面量及其组合的基本静态类型均为 num；有限小数字面量默认精确，不因虚数后缀进入近似计算

4. 复数值约束¶

complex 表示 num 上的复标量值约束，不是独立基本数学类型。real、int、frac 同样是数学值约束；在数域意义上实数属于复数，但不存在从一种基本静态数学类型到另一种类型的自动提升。

use std.math.{conj}

func conjugate(z complex) -> complex {
    return conj(z)
}

let a complex = 3 + 4I
let b num = a + 2

a、b 及函数参数、返回值的基本类型均为 num。z complex 与 -> complex 分别要求参数及返回值为复标量。vector<complex> 表示元素满足该约束的 vector<num>，不创建独立复数容器基本类型。

约束参与调用及返回校验：静态可证时提前检查，其余在运行期验证。确定违反约束报 DomainError 或 InvalidArgument，仍未决报 Inconclusive。具有相同基本签名及参数个数的函数不能仅凭 real、complex 等值约束静态分派，也不提供自动按值重载。

函数类型兼容还须保留参数值约束及量纲契约，不能仅因基本类型同为 num 就把受约束参数放宽。

复数可写为实部与虚部的数学组合 a + b*I，其中两部分满足 real 约束。实现可使用复数数值表示或符号节点，不强制固定存储布局；涉及 FFI 时由其显式 ABI 声明另行规定表示和范围检查。

5. 符号、精确值与近似值¶

sym 默认声明复数标量符号；实性、正性和整数性通过显式假设或约束提供 [3]。

use std.math.{conj}

sym x
let z num = x + 2I
let c num = conj(z)

I 始终表示虚数单位，不参与普通符号变量绑定
精确实数与精确复数运算默认精确、保域；支持域内不能完成的数学调用可保留未求值式
带未绑定数学符号的表达式仍是合法 num，不需要转换到另一种符号基本类型
具体数值提取接口可要求所有必要符号已绑定；未满足时按该接口的错误契约诊断，不进行所谓类型降级
只有显式 std.math.approximate(value, precision=100) 进入近似，精度为目标十进制有效位数 [2]
有近似操作数时发生局部近似传播，采用参与近似值的最高工作精度，未知符号部分继续保留；提高工作精度不恢复输入已经丢失的精度

6. 主值与顺序¶

复平方根、复对数及复非整数幂是单值主值函数：

对非零复数采用主辐角 Arg(z) ∈ (-π, π]
log(z) = ln(|z|) + I*Arg(z)；log(0) 无定义
sqrt(z) 取实部非负的平方根；实部为零时取虚部非负者，且 sqrt(0) = 0
非零底数的复非整数幂按 z^w = exp(w*log(z)) 的主值解释；整数幂遵循整数幂定义，零底数的有效指数域按核心数学规则处理

不得把单值主值函数的结果解释为全部根或全部分支。所有根或解由显式集合求解接口返回，元素基本类型为 num [4]。

复数不提供与实数顺序兼容的无条件 <、<=、>、>=。顺序关系及排序必须满足实数等已声明有序数域的条件：已知非实复数参与实序比较时报告 DomainError；数域尚未确定时可保留符号关系，不能任意选取按实部、模长或存储布局的次序。若普通控制流必须判真而仍未决，报告 Inconclusive [1]。

7. 关系、结构与等价¶

复数作为 num 遵循同一比较规则 [3] [5]：

==、!= 构造 num 数学关系
std.cas.same_structure 返回结构查询的 bool；精确数字叶按数学数值比较，不依赖内部复数布局
=== 与 std.cas.equivalent 返回固定三态 std.cas.Equivalence，证明未决是 cas.Unknown
精确值与近似值无损比较各自现有存储数值，不预先舍入或加入容差；结论不追溯至近似前原式

import std.cas

let relation num = I * I == -1
let proof = (I * I) === -1
let proved bool = proof == cas.Equivalent

I^2 -> -1 属于 Core 基础规则，因此该例的 proof 为 cas.Equivalent。近似节点的结构比较还区分近似类别和工作精度，并与精确叶区别。

8. 标准库要求¶

std.math 必须暴露以下接口。签名中的 real、complex 均为 num 值约束，不是基本类型：

名称	声明	说明
`I`	`num`，满足 `complex`	虚数单位
`complex`	`func complex(re real, im real) -> complex`	以实部与虚部构造复标量
`real`	`func real(z complex) -> real`	实部
`imag`	`func imag(z complex) -> real`	虚部
`conj`	`func conj(z complex) -> complex`	共轭
`abs`	`func abs(z complex) -> real`	非负模长

函数名 complex、real 在调用位置分别表示构造或查询函数，在标注位置表示值约束。已声明数学函数可按其支持域返回未求值的 num 调用；不能因期望数学值而吞掉未绑定函数名。

9. 错误模型¶

ImaginaryUnitReserved：尝试绑定或声明 I
ComplexLiteralSpacing：虚数字面量后缀前存在非法空白
ComplexTypeMismatch：复数接口收到不兼容的基本类型
DomainError / InvalidArgument：确定违反复标量、实部或有序数域等要求
Inconclusive：必须验证的值约束或控制流条件仍未决

具体数值提取遇到未绑定符号时可报告 ComplexEvalUnboundSymbol，但普通符号数学运算不得因此报错。数学错误及运行时故障按 LSR-018 传播 [6]。